Jeg møtte Dennis Sullivan for første gang under en konferanse i Liverpool i 1970, og vi arbeidet da med liknende problemstillinger. Han kom til Liverpool som en frisk hippievind fra Berkeley og imponerte alle med sin intuisjon og geometriske argumenter.
Noen år seinere var vi samtidig i Paris ved Institut des Hautes Etudes Scientifiques (IHES).
Den ledende seniormatematiker i Paris på den tid var Henri Cartan som hadde gitt et geometri kurs uten en eneste figur – alt skulle være formelt. Det var Sullivans rake motsetning , og en gang uttalte han at ethvert matematisk bevis skulle bare bestå av figurer. Det medførte at en av hans beste artikler ble avvist i et kjent tidsskrift. Rom spiller en viktig rolle i vår tenkning og gjøremål.
Hva er et rom? Vi har linjer, flater og det tredimensjonale rom vi lever i. I matematikk studerer en rom av vilkårlig dimensjon. For å gjøre det trenger en å dele dem opp i enklere stykker. For eksempel dele en flate opp i triangler, likedan i høyere dimensjoner. Dette kalles triangulering, og er et av område hvor Sullivan har gitt fundamentale bidrag.
Kjernen i Sullivans arbeider er å forstå hvordan rom er bygget opp og kan karakteriseres.
Tilsynet for høy moral
I matematikken møter en ofte objekter som ikke er geometriske, men en pålegger dem en geometrisk struktur for så å kunne bruke geometrisk intuisjon i det videre studium. Dette har vært en suksess i mange anvendelser.
Ved IHES i Paris var også den store franske matematikeren Rene Thom som også hadde en fantastisk geometrisk intuisjon om rom. Han og Sullivan fant sammen om sine romlige tanker til tross for deres utvendige forskjellighet: Sullivan hippieinspirert amerikaner, Thom liknende en fransk landsbyprest på vei til menigheten.
På denne tiden var det ved IHES en annen stor matematiker som hadde revolusjonert rombegrepet fra en algebraisk synsvinkel, nemlig Alexander Grothendieck. Han var på det tidspunkt ved å forlate matematikken da han følte at han ikke lenger orket å jobbe med matematikk 16 timer i døgnet.
Det var nemlig hans minimumskrav. Jeg husker han var innom IHES og da kledd i en sort munkeliknende dress og en slags hyrdestav. I dette miljøet blomstret rombegrepet!
Når byane blir fienden
Mangfoldigheter er en type rom som er uhyre viktige både i matematikk og fysikk. De består av mindre deler som er limet sammen, og hver av disse delene ser ut som vårt vanlige rom.
Mangfoldigheter finnes i alle dimensjoner, og det har vært et sentralt problem å klassifisere dem. Det gikk fint i dimensjonene 1, 2, 5 og større, men i dimensjonene 3 og 4 ble det vanskelig. Her er det trangt! Dimensjon 4 er fortsatt et stort problem, men gjennom dyp innsikt til mange matematikere ble dimensjon 3 løst.
Det siste avgjørende bidraget var fra russeren Grigori Perelman. For dette arbeidet ble han tildelt den høythengende Fieldsmedaljen og en Milleniumpris (én million dollar), men han avslo å motta begge to!
Alexander Grothendieck avslo også den svenske Crafoordprisen med begrunnelsen at priser korrumperer vitenskapen. Ingen har hittil avslått Abelprisen!
I matematikken bruker vi som nevnt vår geometriske romlige intuisjon for å belyse situasjoner og problemer på nye måter. Hvor kommer vår romlige intuisjon fra? Den kommer nok fra hjernen. Men hvordan?
250 dager i feil retning
I hjernen er det millioner av nerveceller som slår seg av og på. Hvordan kan der oppstå et rombegrep i dette kaoset? May-Britt og Edvard Moser oppdaget en ny celletype i rottehjerner som kalles «grid celler» som utgjør et slags romlig navigasjonssystem. Spesielle grupper av disse kalles moduler, og kollektivt beskriver de rottas bevegelse på en «torus» – et rom svarende til overflaten av en smultring eller «doughnut».
Det er bemerkelsesverdig at et så lav-dimensjonalt og enkelt rom kommer ut av det kaotiske aktivitetsmønsteret til enkeltceller. Dette er et helt nytt resultat basert på eksperimenter i Moser-laben og publisert i Nature i januar (2022). Poenget her er at geometriske (topologiske) rom produseres i hjernen! Den samme hjerne som produserte det abstrakte rombegrepet. Så her biter vi oss i halen på en naturlig måte!
Jeg vil formode at dette er bare toppen av et isfjell. Flere og bedre hjernedata vil bare kreve nye geometriske strukturer og rom. Disse må identifiseres og karakteriseres for så å studere hvordan de spiller sammen. Da kan vi nærme oss en forståelse også av kognitive prosesser.
Si nei til bestemor
Rom og tall er basale begreper i vår hverdag og vår tenkning. For å skille romtyper teller vi ofte deres huller i hver dimensjon. Det har vist seg å være meget nyttig i et nytt fagfelt som kalles topologisk dataanalyse hvor en søker struktur i kompliserte datamengder på samme måte som tonusen framkommer i hjernedata.
Rombegrepet vil nok utvikle seg sterkt i framtida, og sikkert bli mer og mer abstrakt. Da er det viktig å beholde den geometriske intuisjon som årets Abelprisvinner er en førsterangs eksponent for.
